Kontruksi Matriks Generator untuk Pembentukan Kode Linear Berbasis Adjacency Matrix dari Graf Wheel

Abstract

Konstruksi kode linier berbasis matriks ketetanggaan (adjacency matrix) dari graf wheel bertujuan untuk menghasilkan kode dengan kemampuan deteksi dan koreksi kesalahan yang efisien dan sistematis. Pembentukan dimulai dari representasi graf wheel , yang terdiri atas satu vertex pusat yang terhubung dengan seluruh vertex pada lingkaran serta keterhubungan antar vertex pada siklusnya. Struktur ini kemudian direpresentasikan dalam bentuk matriks ketetanggaan  yang mencerminkan hubungan antar vertex dalam graf. Berdasarkan matriks tersebut disusun matriks generator  dengan bentuk umum , di mana  merupakan matriks identitas berukuran sama dengan jumlah vertex pada graf wheel.  Dalam proses konstruksi dilakukan penghapusan baris identik pada matriks generator agar hanya tersisa baris yang saling bebas linear. Hasil analisis menunjukkan bahwa penghapusan tersebut menyebabkan nilai panjang kode  dan dimensi  menjadi lebih kecil, sedangkan jarak minimum   bergantung pada pola keterhubungan antar vertex, di mana perbedaan pola konektivitas dapat memengaruhi besar kecilnya jarak minimum kode. Nilai rate kode yang diperoleh menunjukkan efisiensi kode yang baik dengan kemampuan koreksi kesalahan yang tetap terjaga. Secara keseluruhan, konstruksi matriks generator berbasis graf wheel menghasilkan kode linier yang sistematis, memiliki struktur yang teratur dan simetris, serta memberikan keseimbangan antara efisiensi dan kemampuan koreksi kesalahan. Pendekatan ini juga membuka peluang pengembangan konstruksi kode berbasis graf lainnya dengan karakteristik yang lebih kompleks.